Методы поиска экстремумов функций

Рациональные способы

Экстремумомфункции на интервале именуется наибольшее либо меньшее значение функции относительно некой округи. Это значение может отличаться от большего либо меньшего значения на всей области определения. Отыскать экстремум – это означает отыскать такое значение аргумента , при котором функция имеет максимум либо минимум (рис. 2).

Рис. 2. Экстремум функции на интервале определения

Обычным способом поиска Методы поиска экстремумов функций экстремума является дифференциальное исчисление(способ И. Ньютона). Нужным условием существования экстремума дифференцируемой на интервале функции является равенство нулю первой ее производной. Соответственная точка рассматривается как критичная. Достаточным условием существования максимума дифференцируемой на интервале функции является отрицательное значение 2-ой производной функции в критичной точке, а минимума - положительное значение 2-ой производной. Если 2-ая Методы поиска экстремумов функций производная в рассматриваемой точке равна нулю, то экстремум не существует, а критичная точка является точкой перегиба.

Представим, что функция изменяет свое значение на интервале определения , но имеет экстремум вне интервала. Тогда появляется задачка поиска находящихся как раз на границах интервала наибольшего и малого значения функции (рис. 3). Отметим, что Методы поиска экстремумов функций 1-ая производная функции на границах интервала определения в данном случае совсем не обращается в нуль. Потому внедрение обычного способа поиска экстремума (способа И. Ньютона) в этом случае оказывается неосуществимым.

Рис. 3. Экстремум на границе интервала определения

Функция нескольких переменных также может быть дифференцируема в некоторой точке (полный дифференциал). Если Методы поиска экстремумов функций функция дифференцируема в некоторой точке, то есть личные производные по каждой из переменных, при этом в критичной точке они обращаются в нуль (оборотное не правильно). Зависимо от определенного вида функции таких точек может быть ни одной, одна либо несколько. Существование критичной точки является нужным, но не достаточным условием экстремума Методы поиска экстремумов функций. Для его нахождения нужно вычислить 2-ые незапятнанные и смешанные производные критериальной функции

Производная в некоторой точке по направлению может рассматриваться как производная сечения многомерной функции плоскостью, образованной направлением и точкой. Вектор производных функции по каждой из координат в некоторой точке именуется градиентом функции в данной точке, а сам способ поиска экстремумов градиентным.

Достаточное Методы поиска экстремумов функций условие существования локального экстремума формулируется последующим образом [15]: пусть функция имеет критичную точку ( ), определяемую за счет вычисления выражений

Тогда, если дифференциал второго порядка

больше нуля, то функция имеет минимум, а если меньше нуля, то функция имеет максимум при всех и , не обращающихся в нуль сразу. Если зависимо от и Методы поиска экстремумов функций значение дифференциала может принимать и положительные, и отрицательные значения, то экстремума в критичной точке нет.

Если функция имеет несколько экстремумов, то их обычно именуют локальными. Больший их локальных максимумов либо меньший из локальных минимумов именуют глобальным.

В качестве примера разглядим функцию 2-ух переменных . Приравняем к нулю ее 1-ые личные производные

Вычитая из Методы поиска экстремумов функций первого уравнения 2-ое, имеем , откуда . Подставляя в выражения для личных производных, имеем . Получившееся уравнение имеет три решения: 0, 1, -1. Тогда критичными точками являются , и .

2-ые личные производные имеет вид

Следуя [6], «разумным» образом выберем комбинацию приращений и равными +1 и –1, так как такие значения соответствуют очень вероятному спектру конфигурации аргументов при переходе от одной Методы поиска экстремумов функций критичной точки к другой. Результаты вычислений вторых личных производных и дифференциала второго порядка при разных композициях и сведены в таблицу 1.

Как надо из таблицы 1, в критичной точке (0,0) локального экстремума нет. А вот в точках (1,1) и (-1,-1) имеют место локальные минимумы. Так как в рассматриваемом примере значения критериальной функции в точках (1,1) и Методы поиска экстремумов функций (-1,-1) равны меж собой, в качестве рационального решения можно избрать хоть какое из 2-ух предложенных.

Таблица 1. Расчеты критичных точек


metodi-raboti-s-istochnikom.html
metodi-radionuklidnoj-diagnostiki.html
metodi-rascheta-i-analiza-vibracij.html